最初に結論から書くと、should not have to 〜は、
- 「〜する必要はないはずだ」
- 「～しなきゃいけないなんておかしい」
- 「〜する必要がないようにするべきだ」
という意味になるようです。
“なるようです”と書いたのは、使われる場面に応じてうまく訳出する必要があるから。
僕の場合、洋書を読んでいて以下のような英文に遭遇しました。
But people should not have to pay to come and see someone like me just to get access to that education about how their mind works.
しかし、心がどのように作用するのかという知識をただ入手するためだけに、私のような人にお金を払って診察に来る必要がないようにすべきだ。
【”Why Has Nobody Told me This Before?”より引用、訳は筆者作成】
前後関係を読まないと意味不明だと思うので、訳を読んでもピンとこないと思いますが（そもそも訳が未熟ですが）、洋書でもふつうに出てくる表現です。
should not have to 〜や shouldn’t have to 〜といった表現は見慣れないので、どうしてもスッと訳すことができませんよね。
should を見たとき、反射的に「〜すべきだ」という訳が出てきてしまうのですが、have toを組み合わせて直訳で考えてみると、「〜する必要があるべきではない」となります。
こなれた表現にするなら「〜する必要がないようにするべき」という感じでしょうか。うーん、日本語だといろんな表現があって混乱しますね。
もう少し他の例で考えてみましょう。英和活用大辞典で以下のような例文を見つけたので、引用します。
My mother expressed her determination that I should not have to suffer the same thing.
私の母は私が同じことで苦しまねばならないようなことにはさせないという決意を示した。
express = 示す、determination = 決意、suffer = 苦しむ
という意味です。
提案・要求・希望・決定などを表す主節（ここでは My mother expressed her determination）に続くthat節内において、should は「〜するよう」と訳されます。
ここでは主節内で expressed her determination という決定（決意）が表されているので、「苦しまねばならないようなことがないように」という意味になります。
should の訳し方によってもshould not have to 〜のニュアンスが変わる感じがするので、ますます混乱してきますね…。
せっかく読んでいただいたのに「これぞズバリ」な説明ができずに申し訳ないのですが、
- should not have to 〜
- 「〜する必要がないようにするべきだ」
という訳し方で捉えておくのが、最もわかりやすい気がします。
「〜する必要がないようにするべきだ」を基本にして、あとは文の前後関係とか、shouldの位置（主節なのか従属節なのか）によってニュアンスを決めていくのが良いと思います。